高校数学で微分を習い始めた時に、一発目から導関数の公式である
$$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
の式が出てきて、初っ端から「高校数学は理解不能」と思ってしまった人は結構多いのではないかと思います。しかし、この難解な公式も理解してしまえば、中学生にも理解できるぐらい、めちゃめちゃ簡単な理論によって公式が成り立っていることが分かってきます。
今回は、そんな導関数の公式の証明についての解説です。
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導関数の公式の証明の前に、そもそも導関数とは何だろうか？導関数とは、ざっくりと言ってしまえば、グラフの傾きの事なのです。つまり、先ほど紹介した導関数の公式は、グラフの傾きを表していたわけです。
$$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
グラフの傾きと言えば、中学でも似たようなものを学習しました。下の式のように、「ｙの増加量分÷ｘの増加量分」を計算していけばグラフの傾きは求めれる、と言うのを中学で勉強したと思います。
さて、ここまでの説明では２つの公式を紹介したわけですが、この２つの公式はどちらも「グラフの傾きを求めるための公式」だと言うこと。
つまり、
$$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
の式と
の式は形は違うけれど、内容は全く同じだ、と言うことになるのです。
さあ、さらに導関数の理解を深めていくためにも、ここで少し中学の復習をしていきます。例えば、以下の様な問題があるとしましょう。
問題：この直線の傾きを求めよ
これは楽勝だと思います。中学で勉強をした「ｘの増加量分÷ｙの増加量分」の公式に当てはめて考えれば、１発で答えが出ます。
しかし、ここで重要なのは、
この公式を使えるためには、以下の２つの条件があると言うことです。その２つの条件とは、
この２つの内、どちらか１つでも満たしていないと、グラフの傾きを求めることができないのです。
この様な事情もあって、中学の数学の問題では、２点が曲線で結ばれていたりとか、片方の点の座標が分からない問題は一度も出題されていないはずです。
中学では、直線のグラフしか扱っていなかったので、「ｙの増加量÷ｘの増加量」の公式で対応することができました。しかし、高校数学では、２次関数（曲線）の傾きを考えなくてはいけなくなりました。
さあ、ここで導関数の公式の登場です。
例えば、上のようなグラフがあるとします。そして、そのグラフ上に適当に点Aを作ります。その点Aのｘ座標を「ｘ」とすると、点Aのｙ座標は自動的にf(x)に決まります。
そして、もう１つ、点Aからｈの距離だけ離れた場所にある点を点Bとします。点Bは点Aからｈだけ離れた場所にあるので、点Bのｘ座標は(x+h)となり、ｙ座標はf(x+h)となります。
先ほど説明したように、グラフの傾きを求めるためには、
と言う２つの条件が必要でした。現時点では、２つの点の座標が分かっていますが、点Aと点Bが直線ではなく、曲線で結ばれているので、「ｙの増加量÷ｘの増加量」の公式は使えません。
でも、もし
点Aと点Bの距離がめちゃめちゃ近かった場合、点Aと点Bの距離が限りなく０に近い場合であれば、話が違ってきます。下のグラフを１００倍拡大してみてみましょう。
このように、たとえ２つの点が曲線で結ばれていたとしても、２つの点の距離がめちゃめちゃ近かった場合、２つの点の間は直線に見える様になるのです。
つまり、２次関数でも、中学で習った「ｙの増加量÷ｘの増加量」のグラフの傾きを求めれる公式が使える、と言うわけです。
実際に、上のグラフを公式に当てはめてみると、
しかし、この公式が使えるのは、点Aと点Bの距離がめちゃめちゃ近かった場合のみ、つまり、点Aと点Bの距離ｈの値が、限りなく０に近い場合だけです。なので、この事も式の中に、lim（リミット）と言う形で入れてあげます。
そうしてできあがった導関数の公式が、
$$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
となるわけです。
導関数の公式は、中学で習ったグラフの傾きの公式と、ほぼ同じ内容ですが、唯一決定的に違うのは、導関数の公式の方は、直線だろうが曲線だろうが、どの形のグラフでも使える、と言うことです。
なので、導関数の発見のおかげで、ボクたちは色々なグラフの傾きを調べる事ができるようになったのです。
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