三角関数の微分の証明をしていくよ

   

三角関数 微分 証明

三角関数の微分の公式って、考えれば考えるほど「どうして微分の公式があの形になるのだろう?」と不思議に感じますよね。

そこで今回は、三角関数の微分の公式の証明を紹介していきます。公式の証明を知ることで、数学の面白さと美しさに気付かされたので、備忘録がてらまとめていきます。

By: pbemjestes

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sinの微分の証明

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このsinの微分の証明をするためには、導関数の公式を使っていきます。

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この式に、f(x)=sinxを当てはめていきましょう。

sinnobibun4

さあ、ここで注目したいのが、右辺の分子にある「sin(x+h)」の部分です。この式は、三角関数の加法定理の公式である「sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA」を使って、以下のように変形することができます。

sinnobibun5

そして上の式から、sinxでくくれる数字はくくります。この場合は、sinxconhと-sinxをくくります。

sinnobibun6

その結果、

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このままでは少し分かりずらいので、上の式の分子を分けます。

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この式のlimは、h→0と指示しているだけなので、hの値とは関係がないsinxとcosxはlimの外に出すことができます。なので、上の式をさらに整理すると、下の式に変形できます。

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さあ、ここまで来たら、極限h→0の指示の通り、hに0を代入していきます。この時に思い出してほしいのが下の公式で、この公式を適用することにより、上の式の右側の分数の値がcosxだけになるわけです。

sinnobibun11

そして、上の式の左側の分数ですが、実はコイツは極限h→0にすると、値は0になります。

sinnobibun12

なぜ、この式の極限が0になるかと言うと、分母と分子に「cosh+1」をかけて計算していけば分かります。

sinnobibun13

この事を踏まえて、先ほどのsinx'の式をもう一度見ていくと、極限h→0を代入して後は、左辺はcosxしか残らないと言うことが分かります。

sinnobibun14

 

よって、以下の公式が証明された、と言うわけです。

sinnobibun1

cosの微分の証明

cosの微分の証明は、sinの微分の証明が分かれば楽勝です。まずは、cosをsinの式に変形してあげます。

sinnobibun15

どうして、cosをsinの式に変換するとこのような式になるのかは、三角関数の定義の仕方を理解していれば、簡単に理解できますが、ここではその説明は省略します。とにかく、このような公式がある、と言うのを頭に入れておいてください。

そして、上の式の微分していきます。この時、先ほど証明した、sinの微分の公式「sin'=cos」を使っていきます。

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cos(x+π/2)は-sinxに変形できるので、cosの微分の公式は以下の様になります。

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tanの微分の証明

tanの微分の証明は、tanは「tan=sin/cos」の式に直せる、と言う事に着目して微分をしていけば証明できます。

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分数の微分の計算をしていくと、分子がcosx²+sinx²になるので、有名な三角関数の公式を使うことができます。そうすると、上の式のように、きれいにtanの微分の公式を証明することができます。

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