再帰的と明示的の主な違いは、再帰的な式が前の項に基づいて特定の項の値を与えるのに対し、明示的な式は位置に基づいて特定の項の値を与えることである。
数列は、数学の重要な概念です。
これは、順番に並べられた数の集合を意味する。
等差数列は数式で表すことができる。
つまり、数列の任意の項を数式で直接計算することができる。
数式には、再帰的数式と明示的数式の2種類があります。
数式は、数列の任意の項を求める方法を記述したものです。
再帰性とは
再帰的な式では、前の項を基にして特定の項の値を求めることができます。
例えば、次のような数式を想定する。
a(n) = a(n-1) +5
数列の最初の項は、a(1)=3です。
第2項は次のようになる。
a(2)=a(2-1) + 5 となる。
a(2) = a(1) + 5 となる。
上の式に値を代入することができる。
そうすると、a(2)の結果が得られる。
a(2) = 3 + 5
a(2) = 8
同様に、第3項も次のように求めることができる。
a(3) = a(2) + 5 となる。
a(3) = 8+5 = 13
第4項を計算すると、次のようになる。
a(4) = a(3) + 5 となる。
a(4) = 13 + 5 = 18
同様に、数列の項の値も計算することができる。
a(4)を求めるには、a(3)の値が必要である。
a (3)を求めるにはa (2)の値が、a (2)の値を求めるにはa (1)の値が必要である。
したがって、特定の項の値を求めるためには、前の項や項が必要なのである。
それが再帰式の機能です。
Explicitとは
陽解法では、特定の項の位置からその項の値を求めることができる。
次のような数式を想定する。
a(n) = 2(n-1) + 4
第1項は次の通り。
a(1) = 2 (1-1) + 4 = 0 + 4 = 4
第2項は次の通りです。
a(2) = 2(2-1) + 4 = 2+4 = 6
第3項は以下の通りです。
a(3) = 2(3-1) + 4 = 4 +4 = 8
第4項は以下の通りです。
a(4) = 2(4-1) + 4 = 8 + 4 = 12
同様に、数列の任意の項の値も求めることができる。
数列を観察すると、位置を利用して特定の項の値を計算することが可能であることがわかる。
これが陽解法です。
再帰的と明示的の違い
定義
a1, a2, a3… an というシーケンスに対して、an の値を求めるために前の項をすべて計算する必要がある数式を再帰的な数式という。
a1、a2、a3…anという並びに対して、明示的な式とは、その位置を用いてanの値を計算することができる式です。
したがって、ここが再帰的と明示的の大きな違いです。
機能性
再帰的な式では、前の項の値を使用してシーケンス内の項の値を求めることができます。
しかし、明示的な式では、順序内の項の値は、その位置から求めることができる。
したがって、この点も再帰的と明示的の違いです。
結論
数列は数式で表すことができる。
数式には再帰的なものと明示的なものがあります。
再帰的と明示的の主な違いは、再帰的な式が前の項に基づいて特定の項の値を与えるのに対し、明示的な式は位置に基づいて特定の項の値を与えることである。
